Въведение в теорията на компресивното снемане

Компресивното снемане е набор от математически методи, който позволява възстановяването на Nyquist-rate signal representation от набор от undersampled измервания, получени чрез линейна проекция на сигнала. Това е възможно чрез прилагането на модел на разредения сигнал който пасва добре на структурата на много сигнали които от интерес [1].

Теорема на Шанон и честота на Найкуист (Shannon sampling theorem and Nyquist rate)

Трудно е да се направи каквото и да е въведение в CS без да се спомене теоремата на Шанон за дискретизация на сигналите и т.нар. честота/скорост на Найкуист (честотата/скоростта на сваляне на отчетите на даден сигнал, Nyquist rate).

Според теоремата на Найкуст-Шанон (известна и като теорема на Котелников), ако една функция, дефинирана в някакъв времеви интервал, не съдържа честоти по-голями от <math>f_max‎</math> , то тя е напълно определена чрез равноотстоящи един от друг (времеви) отчети/измервания взимани/сваляни с честота〖2f〗_max. или по-голяма. Доказателството на тази теорема е дадено в [2]. Честотата на снемане на отчетите, предложена от Шанон (произтичаща от неговата теорема), е известна като честота на Найкуист (Nyquist rate), а самата теорема е известна като теорема на Найкуист-Шанон (Nyquist-Shannon). Теоремата на Найкуист-Шанон е получена при допускането, че отчетите/измерванията са равноотстоящи един от друг във времето и честотната лента на сигнала е ограничена. Шанон никъде по явен начин не отхвърля идеята, че, с приемане на по-строги предположения за сигнала, могат да се използват други схеми за снемане на отчетите, които водят до получаване на по-точни граници за минималния брой отчети позволяващи снемане на сигнала без загуба на информация.

Некохерентност

Compressive measurement kernels should have low coherence with the basis in which the signal has a sparse approximation. Intuitively, this requirement states that the measurement kernels should not be localized in the same basis in which the signal is sparse; otherwise, it is likely that the localized measurement kernel will completely miss the localized signal.